命题逻辑的推理规则

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推理

$def:$ 设 $A$ 和 $B$ 是两个命题公式，当且仅当 $A\rightarrow B$ 是 重言式 时称由 $A$ 可推出 $B$ , 或 $B$ 是前提 $A$ 的结论，记为：$A\Rightarrow B$, 读作如果 $A$ 为真那么 $B$ 为真。

推理方法

证明前提 $A$ 推出结论 $B$ 的方法有三种：

• 真值表法
• 等值演算法(利用等值式)
• 在自然推理系统 $P$ 中用推理规则证明（重点）

推理规则：

以下规则虚熟记于心, 下述 逗号 可以理解成 并且

• 化简律：$p\wedge q\Rightarrow p, p\wedge q\Rightarrow q$；

• 附加律：$p\Rightarrow p\vee q,q\Rightarrow p\vee q$

• 假言推理：$p, p\rightarrow q \Rightarrow q$

• 拒取式：$p\rightarrow q,\neg q\Rightarrow \neg p$

• 析取三段论：$p\vee q,\neg p\Rightarrow q$

• 合取式：$p,q\Rightarrow p\wedge q$

• 假言三段论：$p\rightarrow q,q\rightarrow r\Rightarrow p\rightarrow r$ (传递性)

• 等价三段论：$p\leftrightarrow q,q\leftrightarrow r\Rightarrow p\leftrightarrow r$(传递性)

• 构造性二难：$p\rightarrow q,r\rightarrow s,p\vee r \Rightarrow q\vee s$

• 归结式：$p\vee q,\neg p\vee s \Rightarrow q\vee s$

推理证明的一般步骤：

例 1：证明下述式子：
$$
(p\vee q)\wedge(p\leftrightarrow r)\wedge(q\rightarrow s)\Rightarrow s\vee r
$$
$proof:$ 下表置换规则值得就是利用 等值式 进行等值演算得到的结论

例 2： 给出下述推论的形式化证明

• 若马会飞或羊吃草，则母鸡就会变飞鸟；
• 如果母鸡变飞鸟，那么烤熟的鸭子还会跑；
• 烤熟的鸭子不会跑，所以羊儿不吃草。

$proof:$
命题符号化：找到原子命题
令：

• $p$：马会飞
• $q$：羊吃草
• $r$：母鸡变飞鸟
• $s$：烤熟的鸭子还会跑

故上述命题符号化为：
前提：$(p\vee q)\rightarrow r,r\rightarrow s,\neg s$
结论：$\neg q$

一般证明法：

⚡️用归谬法 (反证法) 证明：
🔅思想：将结论否定，在由此推出矛盾

例 3： 🌞用 附加前提法 证明下述命题：

• 如果小张和小王去看电影，则小李也去看电影；
• 小赵不去看电影或小张不去看电影，小王去看电影；
• 所以当小赵去看电影时，小李也去看电影。

$proof:$
命题符号化：找到原子命题
令：

• $p$：小张去看电影
• $q$：小王去看电影
• $r$：小李去看电影
• $s$：小赵去看电影

前提：$p\wedge q\rightarrow r,\neg s\vee p,q$
结论：$s\rightarrow r$

⭐️附加前提法：
若结论为 $s\rightarrow r$ , 可以把 $s$ 放到前提中，推证 $r$ 成立即可。