一道 C 语言题:
#include <stdio.h>
int main()
{
int num = 9;
float *pFloat = #
printf("num 的值为:%d\n",num);
printf("*pFloat 的值为:%f\n",*pFloat);
*pFloat = 9.0;
printf("num 的值为:%d\n",num);
printf("*pFloat 的值为:%f\n",*pFloat);
return 0;
}
运行结果:
产生上述结果的原因:浮点数在计算机中的表示与整数在计算机中的表示存在差异
分析:
整数在计算机中的表示:
int num = 9;
上面这条语句声明并定义了一个整型 int 变量 num 为 9;在普通的 32 位计算机中,用四个字节表示 int,其二进制表示为:
00000000 00000000 00000000 00001001
浮点数在计算机中的表示:
根据国际标准 IEEE 754,任意一个二进制浮点数 V 可以表示为下面这种形式:
$ V = (-1)^{s} · M · 2^{E} $
- s 表示符号位,s= 0 为正,s= 1 为负;
- M 为有效数字,$1<= M <2$;
- $2^E$ 表示指数位;
如题例,十进制的 $ 9.0 $ , 写成二进制位 $1001.0$, 相当于:$ 1.001 · 2^{3} $, 其中 $ s=0,M=1.001,E=3 $;
十进制的 $ -9.0 $, 写成二进制为 $ -1001.0 $, 相当于:$ -1.001 · 2^{3} $, 其中 $ s=1,M=1.001,E=3 $;
有效数字 M:
IEEE 745 规定,对于 32 位的浮点数,最高的一位是符号位 s,接着的 8 位是指数 E,剩下的 23 位为有效数字 M:
对于 64 位的浮点数来说,最高的一位仍为符号位 s,接着的 11 位是指数 E,剩下的 52 位为有效数字 M:
另外,前面提到,$1<= M <2$, 也就是说 M 可以写成 $1.x_1x_2x_3x_4$ 的形式,其中 $x_1x_2x_3x_4$ 表示小数部分。IEEE 754 规定,在计算机内包存 M 时,默认这个数的第一位为 1,因此可以被舍去,这样子就可以节省一位有效数字位,使得 32(64)位浮点数可以保存 24(53)位的有效数字。
指数 E 的情况稍微复杂一些:
首先,E 是一个无符号整数(unsign int), 着意味着当 E 为 8 位时,其取值范围为 0 到 255;若 E 为 11 位其取值范围为 0 到 2047。但是我们知道,科学计数法中的 E 可以是负数,因此,E 的真实值必须减去一个中间值。对于 8 位的 E 应减去 127,对于 11 位的 E 应减去 1023;
比如说,$ 2^{9} $ 的 E 是 9,所以保存成 32 位浮点数时,必须保存为 $E = 9+127=136$, 即 $10001000$。
还原 E 的真实值时还可以分成 3 种情况:
- E 不全为 0 或不全为 1:。这时可直接用 E 减去 127(1023)即可得到 E 的真实值。
- E 全为 0。这时浮点数的指数 E 为 1 -127(1-1023),有效数字 M 不再加上第一位,而是还原成 $0.x_1x_2x_3x_4$ 的小数。这样做是为了表示 $\pm0$, 以及接近于 0 的很小的数字。
- E 全为 1。这时如果有效数字 M 全为 0,则表示 $\pm$ 无穷大(取决于符号位 s);如果有效数字 M 不全为 0,表示这个数是一个 $NaN$。
到此,回顾最初的问题。
-
为什么 $00000000 00000000 00000000 00001001$ 还原成浮点数就变成了 $0.000000$ 呢???
首先:00000000 00000000 00000000 00001001 的符号位 s 为 0 表示其为正;
再者:00000000 00000000 00000000 00001001 的指数位 E 为 00000000(全为 0),符合第 2 种情况,还原后的 E 的真实值为:$E=1-127=-126$;
最后:00000000 00000000 00000000 00001001 的有效数字位为:$000 0000 0000 0000 0000 1001$。
综上:$V = (-1)^{0} · 0.00000000000000000001001 · 2^{-126} = 1.001 · 2^{-146}$
可以看出这是一个很小的数,故用十进制表示为 0.000000. -
浮点数 9.0 如何用二进制表示,还原成十进制后为何是 1092567616 呢?
首先:浮点数 9.0 的二进制表示为 1001.0,即为 $1.001 · 2^3$;符号位 s =0;
再者:有效数字 M =100 0000 0000 0000 0000 0000(共 23 位(100 后加上 20 个 0)其中最高位 1 默认被省略)。
最后:指数 E =3+127=130,即 $E = 10000010_{BIN}$。
综上:浮点数 9.0 在计算机内的表示为:$0 10000010 00100000000000000000000$,将其转化为十进制就是:1091567616